Finanční matematika I.

 

Jednoduché úročení

připisovaný úrok není dále úročen, používá se jen v krátkých obdobích (do jednoho roku)

 

 

 

K kapitál (aktuální stav účtu)

K0 počáteční kapitál (počáteční stav účtu)

p roční úroková míra (např. 2,15 p.a. / per annum)

n doba trvání vkladu nebo výpůjčky v letech (měsíc = 1/12, 10 dní = 10/365)

 

Úloha: Půjčujeme si 100 000 Kč na půl roku s roční úrokovou mírou 12% p.a. Kolik za půl roku vrátíme? [K = 100 000 (1 + 12/100*1/2) = 106 000 Kč]

Složené úročení

připisovaný úrok je dále úročen

 

 

 

Jsou-li úroky připisovány v kratším období než 1 rok, pak , kde f je frekvence složeného úročení (počet úročení během jednoho roku)

 

Příklad: Uložíme si 100 000 Kč na 6% p.a. Kolik dostaneme po 1 roce, je-li frekvence složeného úročení:

frekvence

f

suma

roční

1

106 000

pololetní

2

106 090

čtvrtletní

4

106 136, 36

měsíční

12

106 167, 78

týdenní

52

106 179, 98

denní

365

106 183, 13

 

Při větší frekvenci úročení se celkový úrok zvětšuje, ale růst je omezen.
Pro p=100% p.a., n=1 platí .

Odvození vztahu pro jednoduché úročení:

 

Podobnost s aritmetickou posloupností.

Odvození vztahu pro složené úročení:

původní vklad

po 1. úročení

po 2. úročení

po 3. úročení

po n. úročení

Obdoba geometrické posloupnosti

 

Úloha: Pan Novotný si uložil u banky 100 000 Kč ve složeném úročení s ročním připisováním úroků. Po 5 letech měl na účtu 153 862 Kč. Na jaký úrok měl peníze uloženy? Zdanění úroků zatím neuvažujte.

Pravidelné spoření (střádání)

 

Příklad: Každý rok uložíme 10 000 Kč na 3% p.a. Kolik uspoříme za 5 let?

 

Pro řešení příkladu si zavedeme substituci .
Zde je tedy q = 1,03. Toto číslo vyjadřuje roční zhodnocení úspor úročením.

 

Přemýšlejme, kolikrát budou částky, které uložíme, úročeny.

 

poslední vklad 1x 10 000 q

předposlední vklad 2x 10 000 q2

… 3x 10 000 q3

druhý vklad 4x 10 000 q4

první vklad 5x 10 000 q5

 

Poslední sloupec představuje 5 po sobě jdoucích členů geometrické posloupnosti. Součet těchto členů je dán výrazem .

 

Zobecnění příkladu: Při pravidelném ročním spoření částky a s úrokovou výší p vzroste po n letech vklad na částku , kde .

 

Umořování půjčky

Příklad: Pan Novotný si půjčil K = 50 000 Kč s úrokem 15% p.a. Jak velká musí být roční splátka s, aby dluh splatil za 3 roky?

 

Řešení

=1,15

 

 

Zobecnění příkladu

Má-li být půjčka K, úrokovaná p procenty, splacena pravidelnými splátkami za n let, pak výše roční splátky s je dána vzorcem , kde

Problém daní

Daně sníží skutečný připisovaný úrok. p=10% p.a. s daní 15% znamená, že bude připisován úrok %.

 

Příklad: Paní Veselá si uložila 50 000 Kč s úrokem 4% p.a., který je zdaněn 15%. Po 18 měsících si vklad vyzvedla. Kolik peněz dostala, byl-li její vklad úročen

  1. jednoduchým úročením

  2. složeným úročením s měsíčním připisováním úroků